سیستمهای دینامیک غیر خطی و آشوب
سیستمهای خطی سیستمهایی هستند که عملکرد آنها به حالت آنها بستگی نداشته باشد. یعنی تنها با دانستن نقطه ابتدایی حرکت، میتوانیم تمامی موقعیتهای آینده آن را بدانیم. عملکرد یک سیستم خطی دینامیکی، تنها به نقطه اولیه آن مربوط است و به حالت و موقعیت آن در زمانهای مختلف بستگی ندارد.
سیستمهایی که در آنها یک رابطه خطی میان سرعت و موقعیت برقرار میشود، سیستمهای خطی به شمار میآیند. تکامل تدریجی سیستمهای دینامیکی خطی نیز فرآیندی خطی است. اگر دو جواب برای سیستم خطی داشته باشیم مجموع آنها نیز یک جواب برای سیستم است. هم چنین سیستمهای خطی از این قابلیت برخوردار هستند که آنها را میتوان با تجزیه مسئله به اجزا کوچکتر مورد بررسی قرار داده و سپس با جمع بندی نتایج، به تحلیل کلی آنها اقدام کرد و این از جمله مواردی است که تحلیل سیستمهای خطی را آسان میسازد (مانند آنالیز فوریه، مباحث برهم نهی و …). در نهایت میتوان گفت که تجزیه و تحلیل معادلات مربوط به این سیستمها شناخته شده است.
سیستمهای دینامیکی خطی، سیستمهای دینامیکی هستند که در آنها توابع ارزیابی خطی هستند. سیستمهای دینامیکی به طور کلی راه حلهای فرم بسته ندارند اما سیستمهای دینامیکی خطی دارای یک مجموعه دقیق غنی از خواص ریاضی هستند. سیستمهای خطی همچنین میتوانند برای درک رفتار کیفی سیستمهای دینامیکی عمومی با محاسبه نقاط تعادل سیستم و تقریب زدن آن به عنوان سیستم خطی در اطراف هر نقطه مورد استفاده قرار گیرند.
سیستمهای دینامیکی خطی را در مقایسه با سیستمهای غیرخطی به طور دقیق میتوان حل کرد. علاوه بر این، راه حلهای (تقریبی) هر سیستم غیرخطی میتواند با استفاده از یک سیستم خطی معادل نزدیک به نقاط ثابت آن به خوبی تقریب زده شود. از این رو درک سیستمهای خطی و راه حلهای آن یک گام مهم اولیه برای درک سیستمهای غیرخطی پیچیده است.
آشــوب» در لغت به معنای هرج و مرج و بینظمی است. ریشه لغوی آشوب به کلمه رومی کائــوس» (Kaous) برمیگردد که مفهوم آن متعلق به شاعر روم باستان به نام اویــد» (Owid) میباشد. به نظر او کائوس، بینظمی و ماده بیشکل اولیه بود که دارای فضا و بعد نامحدودی بوده، به طوری که فرض شده است که قبل از این که جهان منظم شکل بگیرد، وجود داشته است که سپس خالق هستی، جهان منظم را از آن ایجاد نمود.
از لحاظ تاریخی پس از آن که قوانین نیوتــن در مورد حرکت ارائه شد، افــراد زیادی با تکیه بر قطعیت ذاتی این قوانین آنهــا را ماشین حساب خدا نامیدند و برای پیشگویی آینــده بر حسب مقادیر فعلی کافی دانستند؛ به طور کلی تصور بر این بود که اگر وضعیت فعلی را با دقت بالایی بدانیم میتوانیم آینــده را هم با همین دقت پیشگویی کنیم. این باور همچنان پا بر جا بود تا این که در اواخر قــرن نوزدهم، هانــری پوانکاره» در بــررسی و تلاش بــرای حل مسئله سه جسمی متــوجه شد در بعضی موارد اگر دقــت در شــرایط اولیه بالا باشد، وماً در نتــایج نهــایی عدم قطعیت ناچیز نیست و با کاهش عدم قطعیت در شــرایط اولیه وماً عدم قطعیت کاهش نمییابد. این مسئله نمودی از رفتــار آشــوبی بود که در آن زمان شنــاخته شــده نبود. تقریبــاً اولیــن تحقیقات عددیی که به معرفی فراگیر آشوب انجامید توسط ادوارد لورنتــس» ارائه شد.
تاکنون تعریف کلی پذیرفته شده برای آشوب ارائه نشده است و تعریف زیر از جمله تعاریف پذیرفته شده مطرح میباشد:
آشــوب، یک رفتــار طولانی مدت غیرپریــودیک در یک سیستم دترمینیســتیک است که وابستـگی حســاس به شــرایط اولیــه را نشان میدهد»
محیط عمل پدیده آشـوب، سیستمهای دینامیکی است. یک سیستم دینامیکی شامل یک فضای فــاز مجـرد یا حالت فازی است که مختصاتش، حالت دینامیکی سیستم را با بکارگیری قوانیــن دینامیکی مشخص میکند. یک سیستم دینامیکی میتواند منظم یا آشوبناک باشد. البته سیستــم منظم، خود ممکن است تنــاوبی یا شبه تنــاوبی باشد. سیستم تناوبی تنها شامل یک فرکانــس و هماهنگهای آن است و سیستم شبه تنــاوبی شامل چنــد فرکانس و هماهنگهای آن میباشد. در سیستم آشــوبی هیچ تنــاوب غالبی وجود ندارد یعنی این سیستــم دارای دوره تنــاوب بینهــایت است
یک جذب کننده مجموعهای از تمام مسیرهایی است که به سمت یک نقطه ثابت، حلقه محدود یا … همگرا میشوند. نوع دیگری از جذب کنندهها وجود دارند که آنها را جذب کنندههای عجیب(Strange attractors) مینامند. جذب کنندههای عجیب به شدت نسبت به شرایط اولیه حساس هستند و به آنها عجیب» گفته میشود چون متشکل از مجموعهی فراکتال هستند.
از آنجا که توصیف سیستمهای دینامیکی گسسته در زمان با کمک نگاشتهای تکرار صورت میپذیرد، در این نوع سیستمها رابطه ای به صورت (xn+1=F(xn مابین نقاطی که سیستم انتخاب میکند وجود دارد که این نقاط با هم تشکیل یک مدار میدهند. بر این اساس منظور از نگاشت، یک رابطه تابعی است از F : R → R که R مجموعهای است از نقاط حقیقی که به وسیله آن مدار(O(x0 از نقاط x0 (متعلق به مجموعه اعداد R) در قالب گروهی از نقاط تعریف میشود: (…,(O(x0)=(x0, F2(x0), F3(x0.
معادله حالت مرتبه اول با در نظر گرفتن (xn = Fn(x0، به صورت معادله (xn+1 = F(xn بیان میگردد. میتوان نگاشتها را براساس خطی بودن (مانند نگاشت لورنتس، نگاشت تنت (Tent) و …) یا غیرخطی بودن (نگاشت لجستیک، نگاشت هنون (Henon) و …) طبقه بندی کرد.
نقاط ثابت در بررسی رفتار نگاشتها از اهمیت خاصی برخوردار است و براساس آن میتوان نحوه تحول سیستم را درک کرد. از دید هندسی نیز به این طریق میتوان نقطه ثابت را توصیف کرد که: نقطه ثابت نقطهای است که از تقاطع خط y = x و منحنی (y = F(x به وجود میآید»
در سیستمهای دینامیکی، نقاط ثابت میتوانند خلق یا نابود شوند یا پایداری آنها تغییر کند یعنی تغییر ماهیت داده و از نوع جاذب به دافع ویا برعکس تبدیل شوند. شروع تغییرات در رفتار نقاط ثابت، دوشاخه شدگی گفته میشود. گذار به حالت دوشاخه شدگی با تغییر کمیتی به نام پارامتر کنترل دوشاخه شدگی (Bifurcation control parameter) صورت میگیرد.
برای ارائه مطالب کلی در مورد دوشاخه شدگی میتوان گفت که: اگر با تغییر پارامتر دوشاخه شدگی، ساختار هندسی فضای فاز دستخوش تغییر شود در این صورت دوشاخه شدگی رخ داده است. پارامتر کنترل میتواند مثبت، منفی یا صفر باشد. تغییر رفتار سیستمهای دینامیکی را می توان در سه گروه طبقه بندی کرد:
فضای فاز با کمک مکان (x1) و سرعت (x2) رسم میگردد، لذا میتوان گفت که مجموعه جوابهایی به صورت (x1(t), x2(t))، نشانگر یک نقطه در حال حرکت در روی منحنی (یعنی مسیر(Trajectory) سیستم) در این فضا خواهند بود.
باید دانست که به ازای شرایط اولیه متفاوت، فضای فاز کاملاً با مسیرها پوشانده شده لذا هر نقطهای را میتوان به عنوان نقطه اولیه در نظر گرفت. هدف ما این است که عکس این ساختار را طی کنیم یعنی مسیرها را رسم کرده و بدین وسیله اطلاعات مربوط به جوابها را استخراج نماییم.
فضای فاز مربوط به یک سیستم n ذرهای فضایی است متشکل از ۶n پایههای مختصاتی که ۳n پایه آن مربوط به مکان و ۳n پایه دیگر مربوط به اندازه حرکت است، پس هر نقطه در فضای فاز دارای ۶n مختصه میباشد که به تنهایی برای توصیف وضعیت سیستم کافی است. وجود ثوابت ابعاد فضای فاز را کاهش میدهد. از حرکت یک نقطه در فضای فاز مسیرهای فضای فاز پدید میآیند. در حالت کلی، مجموعه مسیرهای فضای فاز حجمی ۶n بعدی را در فضای فاز اشغال میکنند. البته باید دانست که به دلیل یکتایی حرکت ذره کلاسیکی، مسیرها در فضای فاز یکدیگر را قطع نمیکنند. در نتیجه میتوان گفت که فضای فاز مجموعهای از حالات ممکن یک سیستم دینامیکی است. یک حالت ویژه و مشخص در فضای فاز سیستم را به طور کامل مشخص میکند و این تمام آن چیزی است که در مورد شناخت کاملی از آینده نزدیک سیستم مورد نظر، مورد نیاز میباشد. به عنوان مثال، فضای فاز یک آونگ، صفحهای دو بعدی شامل موقعیت (زاویه) و سرعت است و مطابق با قوانین نیوتن تعیین این دو متغیر به طور مجزا، حرکت بعدی آونگ را در زمانهای بعدی مشخص میکند.
حال اگر یک سیستم غیرمستقل وجود داشته باشد که میــدان برداری آن (یک معادله دیفــرانسیل به عنوان یک میــدان برداری معرفی میشود) به طور صریح به زمــان بستگی داشته باشد، در آن صورت طبق تعــریف فضای فــاز باید زمان را به عنوان یک مختصه فضای فــاز در نظــر گرفت زیرا برای تعیین حرکت در زمان بعدی، یک زمان ویژه باید معلوم باشد. مسیــر در فضای فاز میتواند به صورت یک مدار و یا یک منحنی باشد در حالی که در سیستمی که نسبت به زمان گسسته است مدار به صورت یک ســری از نقاط میباشد.
سیستمهای دینامیکی غیرخطی و حتی سیستمهای خطی گسسته، میتوانند از خود رفتار کاملاً غیرقابل پیشبینی نشان دهند. چنین رفتاری، ممکن است تصادفی به نظر برسد، علیرغم این حقیقت که اساساً حتمی هستند (یعنی امکان وجود حالت تصادفی در آن وجود ندارد) این رفتار غیرقابل پیشبینی، آشوب خوانده میشود.
در سیستمهای دینامیکی غیرخطی رابطه میان سرعت و موقعیت غیرخطی میباشد. در چنین سیستمی اگر دو جواب داشته باشیم مجموع آنها جواب دیگر سیستم نمیباشد. سیستم دینامیکی غیرخطی را نمی توان به اجزا کوچکتر تقسیم نموده و هر یک را جداگانه حل کرد، بلکه باید کل سیستم را با هم و یکجا مطالعه و بررسی کرد (برای مثال، وقتی که قسمتهایی از یک سیستم تداخل میکنند یا با هم کار میکنند یک برهمکنش غیرخطی اتفاق میافتد و اصل برهم نهی شکست میخورد). پس میتوان گفت که معادلات مربوط به تحول در این سیستمها حل تحلیلی ندارند و یا حل تحلیلی آنها بسیار مشکل است. برای تجزیه و تحلیل چنین معادلاتی، دینامیک غیرخطی که در سه بعد منجر به آشوب میگردد مورد استفاده قرار میگیرد؛ از اینرو برای تحلیل سیستمهای غیرخطی آشنایی با یک سری مفاهیم اولیه مانند: نقاط ثابت (fixed points) و دو شاخه شدنها (bifurcations) (در یک بعد)، سیکلهای محدود (limit cycles) (در دو بعد) و فراکتالها یعنی اشکالی با ابعاد غیر صحیح (در سه بعد) لازم است. این مفاهیم در ادامه مورد بحث قرار خواهند گرفت.
سیستمهای دینامیکی غیرخطی را میتوان به دو طریق مورد مطالعه قرار داد:
در صورتی که تحول در سیستم نسبت به زمان به صورت پیوسته باشد از معادله دیفرانسیل استفاده میشود، مانند معادله نوسانگر هماهنگ میرا یا معادله گرما؛ اما اگر سیستم به صورت گسسته با زمان تحول یابد، به عبارت دیگر در صورتی که زمان به عنوان عامل جداگانهای در نظر گرفته شود سیستم در قالب نگاشتهای تکرار(Iterated maps) مطالعه میگردد، مانند نگاشت لجستیک (Logistic map).
مطالعه سیستمهای دینامیکی غیرخطی هم اکنون سرلوحه مطالعات در بسیاری از علوم از جمله در: فیزیک، نجوم، ریاضیات، بیولوژی، شیمی، اقتصاد، علوم کامپیوتر، هواشناسی و علوم پزشکی میباشد.
۱- نگاشت گربه آرنولد ۲- نگاشت بیکر نمونهای از نگاشت خطیِ گسسته آشوب ۳- نگاشت دایره ۴- پاندول دوتایی ۵- نگاشت هنون ۶- چرخش گنگ ۷- نگاشت لجیستیک ۸- نگاشت راسلر۹- سیستم لورنتس
سیستمهای دینامیکی حول یک متغیر واحدِ مستقل تعریف میشوند که معمولاً زمان است. سیستمهای تعمیم یافتهتر، حول چندین متغیرِ مستقل تعریف شده و از این روی، سیستمهای چند بعدی خوانده میشوند. چنین سیستمهایی در پردازش تصویر دیجیتال مفید هستند.
بعضی مسائل و موضوعات صنعتی – اجتماعی و مدیریتی، پیچیدگی دارند و با فرضیات ساده بینشی و مدیریتی قابل حل نمیباشند. نظریه سیستمهای پویا روشی برای مدل سازی و بررسی عوامل یک سیستم و در نهایت پیدا کردن راه حل مناسب است. امروزه مدلسازی از سیستمهای پیچیده در بسیاری از رشتهها مانند هواشناسی، زمینشناسی، انتقال جرم و حرارت، مدارهای ماهوارهای، مکانیک سماوی و نجوم، دریاشناسی و مکانیک سیالات، گرانش و کیهانشناسی کاربرد دارد. سیستمهای پویا بخش اساسیِ نظریهی آشوب، روند خودسامانی و مفهوم مرزآشوب است.
درباره این سایت