سیستم‌های دینامیک غیر خطی و آشوب

سیستم‌های دینامیک غیر خطی و آشوب

سیستم‌های دینامیک خطی

سیستم‌های خطی سیستم‌هایی هستند که عملکرد آن‌ها به حالت آن‌ها بستگی نداشته باشد. یعنی تنها با دانستن نقطه ابتدایی حرکت، می‌توانیم تمامی موقعیت‌های آینده آن را بدانیم. عملکرد یک سیستم خطی دینامیکی، تنها به نقطه اولیه آن مربوط است و به حالت و موقعیت آن در زمان‌های مختلف بستگی ندارد.

سیستم‌هایی که در آن‌ها یک رابطه خطی میان سرعت و موقعیت برقرار می‌­شود، سیستمه‌ای خطی به شمار می­‌آیند. تکامل تدریجی سیستم‌های دینامیکی خطی نیز فرآیندی خطی است. اگر دو جواب برای سیستم خطی داشته باشیم مجموع آن‌ها نیز یک جواب برای سیستم است. هم چنین سیستم‌های خطی از این قابلیت برخوردار هستند که آن‌ها را می­‌توان با تجزیه مسئله به اجزا کوچکتر مورد بررسی قرار داده و سپس با جمع بندی نتایج، به تحلیل کلی آن‌ها اقدام کرد و این از جمله مواردی است که تحلیل سیستم‌های خطی را آسان می­‌سازد (مانند آنالیز فوریه، مباحث برهم نهی و …). در نهایت می‌­توان گفت که تجزیه و تحلیل معادلات مربوط به این سیستم‌ها شناخته شده است. 

سیستم‌های دینامیکی خطی، سیستم‌های دینامیکی هستند که در آن‌ها توابع ارزیابی خطی هستند. سیستم‌های دینامیکی به طور کلی راه حل‌های فرم بسته ندارند اما سیستم‌های دینامیکی خطی دارای یک مجموعه دقیق غنی از خواص ریاضی هستند. سیستم‌های خطی همچنین می‌توانند برای درک رفتار کیفی سیستم‌های دینامیکی عمومی با محاسبه نقاط تعادل سیستم و تقریب زدن آن به عنوان سیستم خطی در اطراف هر نقطه مورد استفاده قرار گیرند.

سیستم‌های دینامیکی خطی را در مقایسه با سیستم‌های غیرخطی به طور دقیق می‌توان حل کرد. علاوه بر این، راه حل‌های (تقریبی) هر سیستم غیرخطی می‌تواند با استفاده از یک سیستم خطی معادل نزدیک به نقاط ثابت آن به خوبی تقریب زده شود. از این رو درک سیستم‌های خطی و راه حل‌های آن یک گام مهم اولیه برای درک سیستم‌های غیرخطی پیچیده است.

مفاهیم اولیه در سیستم‌های دینامیکی غیرخطی آشوب (chaos)

آشــوب» در لغت به معنای هرج و مرج و بی­‌نظمی است. ریشه لغوی آشوب به کلمه رومی کائــوس» (Kaous) برمی­‌گردد که مفهوم آن متعلق به شاعر روم باستان به نام اویــد» (Owid) می­‌باشد. به نظر او کائوس، بی­‌نظمی و ماده بی­‌شکل اولیه بود که دارای فضا و بعد نامحدودی بوده، به طوری که فرض شده است که قبل از این که جهان منظم شکل بگیرد، وجود داشته است که سپس خالق هستی، جهان منظم را از آن ایجاد نمود.

از لحاظ تاریخی پس از آن که قوانین نیوتــن در مورد حرکت ارائه شد، افــراد زیادی با تکیه بر قطعیت ذاتی این قوانین آنهـ‌ـا را ماشین حساب خدا نامیدند و برای پیش‌گویی آینــده بر حسب مقادیر فعلی کافی دانستند؛ به طور کلی تصور بر این بود که اگر وضعیت فعلی را با دقت بالایی بدانیم می‌توانیم آینــده را هم با همین دقت پیش‌گویی کنیم. این باور هم‌چنان پا بر جا بود تا این که در اواخر قــرن نوزدهم، هانــری پوانکاره» در بــررسی و تلاش بــرای حل مسئله سه جسمی متــوجه شد در بعضی موارد اگر دقــت در شــرایط اولیه بالا باشد، وماً در نتــایج نهــایی عدم قطعیت ناچیز نیست و با کاهش عدم قطعیت در شــرایط اولیه وماً عدم قطعیت کاهش نمی‌­یابد. این مسئله نمودی از رفتــار آشــوبی بود که در آن زمان شنــاخته شــده نبود. تقریبــاً اولیــن تحقیقات عددیی که به معرفی فراگیر آشوب انجامید توسط ادوارد لورنتــس» ارائه شد.

تاکنون تعریف کلی پذیرفته شده برای آشوب ارائه نشده است و تعریف زیر از جمله تعاریف پذیرفته شده مطرح می‌­باشد:

آشــوب، یک رفتــار طولانی مدت غیرپریــودیک در یک سیستم دترمینیســتیک است که وابستـگی حســاس به شــرایط اولیــه را نشان می‌­دهد»

• منظور از رفتار طولانی مدت غیریک در سیستم‌های دینامیکی آن است که مسیرهایی وجود دارند که وقتی زمان به بی­نهایت میل می‌­کند، مسیر این سیستم‌ها به نقاط ثابت، مدارهای یک و یا مدارهای شبه یک منتهی نمی‌­شوند.
• دترمینیســتیک گویای آن است که سیستم دارای پارامترها یا ورودی­‌های تصادفی(random) نیست ولی رفتار بی نظم این سیستم‌ها از غیرخطی بودن ناشی می‌­شود. این اصطلاح در مقابل stochastic به کار می‌­رود که منظور از آن نامنظم، کاتوره­ای، نامعین و غیرقابل پیش بینی بودن رفتار سیستم است.
• منظور از حساس بودن به شرایط اولیه در سیستم‌های دینامیکی این است که مسیرهای مجاور با سرعت و به طور نمایی از هم جدا می­‌شوند. در واقع این خصوصیت، تفاوت اصلی سیستم‌های دینامیکی آشوبناک با سیستم‌های دینامیکی غیر­آشوبناک است. در سیستم‌های دینامیکی غیر­آشوبناک، اختلاف کوچک اولیه در دو مسیر به عنوان خطای اندازه‌­گیری بوده و به طور خطی با زمان افزایش پیدا می‌­کند در حالی که در سیستم‌های دینامیکی آشوبناک، اختلاف بین دو مسیر با فاصله بسیار اندک همان طوری که گفته شد، به طور نمایی افزایش می‌­یابد.

محیط عمل پدیده آشـوب، سیستم‌های دینامیکی است. یک سیستم دینامیکی شامل یک فضای فــاز مجـرد یا حالت فازی است که مختصاتش، حالت دینامیکی سیستم را با بکارگیری قوانیــن دینامیکی مشخص می‌­کند. یک سیستم دینامیکی می‌تواند منظم یا آشوبناک باشد. البته سیستــم منظم، خود ممکن است تنــاوبی یا شبه ­تنــاوبی باشد. سیستم تناوبی تنها شامل یک فرکانــس و هماهنگ‌های آن است و سیستم شبه تنــاوبی شامل چنــد فرکانس و هماهنگ‌های آن می‌­باشد. در سیستم آشــوبی هیچ تنــاوب غالبی وجود ندارد یعنی این سیستــم دارای دوره تنــاوب بی­نهــایت است

جــذب کننــده­‌ها (strange attractors)

یک جذب کننده مجموعه‌­ای از تمام مسیرهایی است که به سمت یک نقطه ثابت، حلقه محدود یا … همگرا می‌شوند.  نوع دیگری از جذب کننده­‌ها وجود دارند که آن‌ها را جذب کننده­‌های عجیب(Strange attractors) می‌نامند. جذب کننده‌­های عجیب به شدت نسبت به شرایط اولیه حساس هستند و به آن‌ها عجیب» گفته می­‌شود چون متشکل از مجموعه‌ی فراکتال هستند.

نگاشتــهای تکــرار(Iterated maps)

از آنجا که توصیف سیستم‌های دینامیکی گسسته در زمان با کمک نگاشت‌های تکرار صورت می‌­پذیرد، در این نوع سیستم‌ها رابطه ­ای به صورت (xn+1=F(xn مابین نقاطی که سیستم انتخاب می­‌کند وجود دارد که این نقاط با هم تشکیل یک مدار می­‌دهند. بر این اساس منظور از نگاشت، یک رابطه تابعی است از F : R → R که R مجموعه­‌ای است از نقاط حقیقی که به وسیله آن مدار(O(x0 از نقاط x0  (متعلق به مجموعه اعداد R) در قالب گروهی از نقاط تعریف می‌­شود: (…,(O(x0)=(x0, F2(x0), F3(x0.

معادله حالت مرتبه اول با در نظر گرفتن (xn = Fn(x0، به صورت معادله (xn+1 = F(xn  بیان می­‌گردد. می­‌توان نگاشت‌ها را براساس خطی بودن (مانند نگاشت لورنتس، نگاشت تنت (Tent) و …) یا غیرخطی بودن (نگاشت لجستیک، نگاشت هنون (Henon) و …) طبقه بندی کرد.

نقــاط ثابت (Fixed points)

نقاط ثابت در بررسی رفتار نگاشت‌ها از اهمیت خاصی برخوردار است و براساس آن می‌توان نحوه تحول سیستم را درک کرد. از دید هندسی نیز به این طریق می‌­توان نقطه ثابت را توصیف کرد که: نقطه ثابت نقطه‌­ای است که از تقاطع خط y = x و منحنی (y = F(x به وجود می‌­آید»

دوشــاخه­ شدگی (Bifurcation)

در سیستم‌های دینامیکی، نقاط ثابت می­‌توانند خلق یا نابود شوند  یا پایداری آنها تغییر کند یعنی تغییر ماهیت داده و از نوع جاذب به دافع ویا برعکس تبدیل شوند. شروع تغییرات در رفتار نقاط ثابت، دوشاخه شدگی گفته می­‌شود. گذار به حالت دوشاخه شدگی با تغییر کمیتی به نام پارامتر کنترل دوشاخه شدگی (Bifurcation control parameter) صورت می­‌گیرد.

• دوشاخه شدگی زینی (Saddle – Node): این نوع دوشاخه شدگی به وسیله خلق یا نابودی نقاط ثابت معلوم می­‌گردد و در نگاشت‌هایی که از یکی از ضابطه­‌های زیر تبعیت می­‌کنند رخ می‌­دهد: 
  dx/dt = r + x2 , dx/dt = r – x2
• دوشاخه شدگی گذار بحرانی (Transcritical): در این نوع دوشاخه شدگی هرگز شاهد خلق یا نابودی نقاط ثابت نبوده بلکه با تغییر پارامتر کنترل، فقط نوع پایداری آنها تغییر می­‌کند. شکل کلی سیستم‌های دینامیکی که از این نوع دوشاخه شدگی تابعیت می­‌کنند، عبارت است از: dx/dt = r x – x2
• دوشاخه شدگی چنگالی (Pitchfork): این نوع دوشاخه شدن در مسائل فیزیکی که دارای تقارن هستند، معمول می­‌باشد (برای مثال، دربسیاری از مسائل فیزیکی یک تقارن فضایی بین چپ و راست وجود دارد).

برای ارائه مطالب کلی در مورد دوشاخه شدگی می­توان گفت که: اگر با تغییر پارامتر دوشاخه شدگی، ساختار هندسی فضای فاز دستخوش تغییر شود در این صورت دوشاخه شدگی رخ داده است. پارامتر کنترل می‌تواند مثبت، منفی یا صفر باشد. تغییر رفتار سیستم‌های دینامیکی را می توان در سه گروه طبقه بندی کرد:

فضای فاز

فضای فاز با کمک مکان (x1) و سرعت (x2) رسم می­‌گردد، لذا می‌­توان گفت که مجموعه جواب‌هایی به صورت (x1(t), x2(t))، نشانگر یک نقطه در حال حرکت در روی منحنی (یعنی مسیر(Trajectory) سیستم) در این فضا خواهند بود.

باید دانست که به ازای شرایط اولیه متفاوت، فضای فاز کاملاً با مسیرها پوشانده شده لذا هر نقطه‌­ای را می‌­توان به عنوان نقطه اولیه در نظر گرفت. هدف ما این است که عکس این ساختار را طی کنیم یعنی مسیرها را رسم کرده و بدین وسیله اطلاعات مربوط به جواب‌ها را استخراج نماییم.

فضای فاز مربوط به یک سیستم n ذره‌­ای فضایی است متشکل از ۶n پایه­‌های مختصاتی که ۳n پایه آن مربوط به مکان و ۳n پایه دیگر مربوط به اندازه حرکت است، پس هر نقطه در فضای فاز دارای ۶n مختصه می­‌باشد که به تنهایی برای توصیف وضعیت سیستم کافی است. وجود ثوابت ابعاد فضای فاز را کاهش می­‌دهد. از حرکت یک نقطه در فضای فاز مسیرهای فضای فاز پدید می­‌آیند. در حالت کلی، مجموعه مسیرهای فضای فاز حجمی ۶n بعدی را در فضای فاز اشغال می­‌کنند. البته باید دانست که به دلیل یکتایی حرکت ذره کلاسیکی، مسیرها در فضای فاز یکدیگر را قطع نمی­‌کنند. در نتیجه می­‌توان گفت که فضای فاز مجموعه‌­ای از حالات ممکن یک سیستم دینامیکی است. یک حالت ویژه و مشخص در فضای فاز سیستم را به طور کامل مشخص می­‌کند و این تمام آن چیزی است که در مورد شناخت کاملی از آینده نزدیک سیستم مورد نظر، مورد نیاز می‌­باشد. به عنوان مثال، فضای فاز یک آونگ، صفحه‌­ای دو بعدی شامل موقعیت (زاویه) و سرعت است و مطابق با قوانین نیوتن تعیین این دو متغیر به طور مجزا، حرکت بعدی آونگ را در زمان‌های بعدی مشخص می­‌کند.

حال اگر یک سیستم غیرمستقل وجود داشته باشد که میــدان برداری آن (یک معادله دیفــرانسیل به عنوان یک میــدان برداری معرفی می­‌شود) به طور صریح به زمــان بستگی داشته باشد، در آن صورت طبق تعــریف فضای فــاز باید زمان را به عنوان یک مختصه فضای فــاز در نظــر گرفت زیرا برای تعیین حرکت در زمان بعدی، یک زمان ویژه باید معلوم باشد. مسیــر در فضای فاز می‌تواند به صورت یک مدار و یا یک منحنی باشد در حالی که در سیستمی که نسبت به زمان گسسته است مدار به صورت یک ســری از نقاط می‌­باشد.

سیستم‌های دینامیک غیر خطی و آشوب

سیستم‌های دینامیکی غیرخطی و حتی سیستم‌های خطی گسسته، می‌توانند از خود رفتار کاملاً غیرقابل پیش‌بینی نشان دهند. چنین رفتاری، ممکن است تصادفی به نظر برسد، علی‌رغم این حقیقت که اساساً حتمی هستند (یعنی امکان وجود حالت تصادفی در آن وجود ندارد) این رفتار غیرقابل پیش‌بینی، آشوب خوانده می‌شود.

در سیستم‌های دینامیکی غیرخطی رابطه میان سرعت و موقعیت غیرخطی می­‌باشد. در چنین سیستمی اگر دو جواب داشته باشیم مجموع آنها جواب دیگر سیستم نمی‌­باشد. سیستم دینامیکی غیرخطی را نمی توان به اجزا کوچکتر تقسیم نموده و هر یک را جداگانه حل کرد، بلکه باید کل سیستم را با هم و یکجا مطالعه و بررسی کرد (برای مثال، وقتی که قسمت‌هایی از یک سیستم تداخل می‌­کنند یا با هم کار می‌­کنند یک برهم‌کنش غیرخطی اتفاق می‌افتد و اصل برهم نهی شکست می‌­خورد). پس می‌­توان گفت که معادلات مربوط به تحول در این سیستم‌ها حل تحلیلی ندارند و یا حل تحلیلی آنها بسیار مشکل است. برای تجزیه و تحلیل چنین معادلاتی، دینامیک غیرخطی که در سه بعد منجر به آشوب می­‌گردد مورد استفاده قرار می­‌گیرد؛ از این‌رو برای تحلیل سیستم‌های غیرخطی آشنایی با یک سری مفاهیم اولیه مانند: نقاط ثابت (fixed points) و دو شاخه شدنها (bifurcations) (در یک بعد)، سیکل‌های محدود (limit cycles) (در دو بعد) و فراکتال‌ها یعنی اشکالی با ابعاد غیر صحیح (در سه بعد) لازم است. این مفاهیم در ادامه مورد بحث قرار خواهند گرفت.

سیستم‌های دینامیکی غیرخطی را می­‌توان به دو طریق مورد مطالعه قرار داد:

در صورتی که تحول در سیستم نسبت به زمان به صورت پیوسته باشد از معادله دیفرانسیل استفاده می‌­شود، مانند معادله نوسانگر هماهنگ میرا یا معادله گرما؛ اما اگر سیستم به صورت گسسته با زمان تحول یابد، به عبارت دیگر در صورتی که زمان به عنوان عامل جداگانه‌­ای در نظر گرفته شود سیستم در قالب نگاشت‌های تکرار(Iterated maps) مطالعه می­‌گردد، مانند نگاشت لجستیک (Logistic map).

مطالعه سیستم‌های دینامیکی غیرخطی هم اکنون سرلوحه مطالعات در بسیاری از علوم از جمله در: فیزیک، نجوم، ریاضیات، بیولوژی، شیمی، اقتصاد، علوم کامپیوتر، هواشناسی و علوم پزشکی می‌­باشد.

نمونه‌های سیستم‌های دینامیکی

۱- نگاشت گربه آرنولد ۲- نگاشت بیکر نمونه‌ای از نگاشت خطیِ گسسته آشوب ۳- نگاشت دایره ۴- پاندول دوتایی ۵- نگاشت هنون ۶- چرخش گنگ ۷- نگاشت لجیستیک ۸- نگاشت راسلر۹- سیستم لورنتس

تعمیم چند بعدی سیستم‌های دینامیکی

سیستم‌های دینامیکی حول یک متغیر واحدِ مستقل تعریف می‌شوند که معمولاً زمان است. سیستم‌های تعمیم یافته‌تر، حول چندین متغیرِ مستقل تعریف شده و از این‌ روی، سیستم‌های چند بعدی خوانده می‌شوند. چنین سیستم‌هایی در پردازش تصویر دیجیتال مفید هستند.

کاربرد سیستم‌های دینامیکی

بعضی مسائل و موضوعات صنعتی – اجتماعی و مدیریتی، پیچیدگی دارند و با فرضیات ساده بینشی و مدیریتی قابل حل نمی‌باشند. نظریه سیستم‌های پویا روشی برای مدل سازی و بررسی عوامل یک سیستم و در نهایت پیدا کردن راه حل مناسب است. امروزه مدل‌سازی از سیستم‌های پیچیده در بسیاری از رشته‌ها مانند هواشناسی، زمین‌شناسی، انتقال جرم و حرارت، مدارهای ماهواره‌ای، مکانیک سماوی و نجوم، دریاشناسی و مکانیک سیالات، گرانش و کیهان‌شناسی کاربرد دارد. سیستم‌های پویا بخش اساسیِ نظریه‌ی آشوب، روند خودسامانی و مفهوم مرزآشوب است.